Wg Henryka Maćkowiaka „Szkolnictwo na Kurpiach 1905-1939” i zamieszczonej tam tabelki – pierwsze udokumentowane wzmianki o istnieniu szkoły w Zarębach pochodzą z roku 1892. Istniała wówczas 1 szkółka ludowa z 25 uczniami na 3896 mieszkańców gminy, obejmującej  18 miejscowości. Mieściła się w wynajętym budynku, który już dzisiaj nie istnieje. Oficjalna nazwa tej szkoły brzmiała „Jednoklasowa początkowa szkoła ludowa”. Składała się z oddziału wstępnego oraz klas I, II i III, tworzących razem jedną klasę. Wszystkich przedmiotów w tej szkole uczono w języku rosyjskim, a w klasie II był już język polski jako oddzielny przedmiot.

Taki stan trwał mniej więcej do roku 1917-1918, z tym, że systematycznie zwiększała się liczba uczniów i wg statystyki wynosiła już 67 (39 chłopców i 28 dziewcząt), co stanowiło 17-cioro dzieci na 1000 mieszkańców. Statystyka z roku 1922-23 wykazuje już znaczny postęp. W gminie Zaręby są już 2 szkoły i 2 nauczycieli a liczba uczniów wzrasta do 86. W roku szkolnym 1925-26 istnieją już 4 powszechne szkoły publiczne z 4 nauczycielami, a liczba uczniów zwiększa się do 171. Są to w dalszym ciągu jednoklasówki, mieszczące się w wynajętych budynkach, ponieważ straszliwie zniszczona I wojną światową uboga Kurpiowszczyzna miała widać pilniejsze potrzeby niż budowa szkół. W międzyczasie wzrósł stopień organizacyjny szkół, gdyż statystyka z roku szkolnego 1930-31 odnotowuje 2 szkoły 2-klasowe na terenie gminy Zaręby, w tym jedna w Zarębach o dwóch nauczycielach. Jest to wielki awans społeczny.

W roku 1938-39 szkoła ma już 3 nauczycieli, choć dalej jest II stopniowa, lecz pracuje już we własnym budynku, który został wzniesiony prawdopodobnie w 1935r. przez kierownika szkoły p. St. Małkiewicza, pracującego tam wraz z żoną przez 7 lat, aż do wybuchu wojny w 1939 r. Usytuowana została w centralnym punkcie wsi, blisko kościoła „centrum” handlowego i urzędu gminy. Był to drewniany, parterowy budynek (który stoi dotąd i pełnił do 2004r. rolę przedszkola) z 4 izbami lekcyjnymi, niedużą kuchnią i obszernym korytarzem. Dawał wygodne pomieszczenie uczniom i nauczycielom. Budynek szkolny, oddzielony od głównego gościńca (obecnie szosy) rozległym boiskiem zapewniał ciszę i spokój.

I tak było do września 1939r. Podczas okupacji hitlerowskiej Zaręby i okolica zostały włączone do III Rzeszy Niemieckiej. Był to koniec oficjalnego szkolnictwa polskiego na tych ziemiach. W budynku szkolnym zainstalował swoje biura komisarz niemiecki i dla wsi jak dla całej Polski rozpoczęła się „ciemna noc okupacyjna”- nowy etap życia w niewoli.

Podobno nauczycielka, która mieszkała wówczas we wsi prowadziła tajne nauczanie, polegające na uczeniu dzieci sztuki czytania, pisania i rachunków (być może była to p. Aniela Rykowska, której mąż, także przedwojenny nauczyciel, przebywał wówczas w obozie jenieckim). Tak wynikało z ustnych przekazów najstarszych mieszkańców Zarąb, ponieważ nie zachowała się żadna dokumentacja szkolna ani z okresu międzywojennego, ani z czasów okupacji hitlerowskiej.

Zaraz po wyzwoleniu w 1945 r szkoła znowu zatętniła życiem. Zgłaszały się do niej nie tylko dzieci w wieku szkolnym, ale i te starsze, którym wojna i okupacja odebrały dzieciństwo i uniemożliwiły naukę. Obok siebie zasiedli w ławkach siedmioletni malcy i ich dużo starsi koledzy. W szkole nie było dosłownie niczego. Kredę zdobywało się z wielkim trudem, nosiło w kieszeni i oszczędzało jak największy skarb. Za tablicę służyły początkowo drzwi pociągnięte ciemną farbą. Dzienniki, arkusze ocen, podręczniki, programy nauczania docierały bardzo powoli.

Podczas okupacji  mieszkało w Zarębach wielu tzw. przesiedleńców, których Niemcy wyrzucili z terenów, gdzie organizowali poligony wojskowe. Było między nimi kilkoro nauczycieli i pracowników umysłowych. Więc pierwsze kroki skierowali do szkoły, niestety na krótko. To nie była atrakcyjna placówka. Wieś leżała na obrzeżach I Rzeczypospolitej, zdala od dróg dojazdowych. Więc jeden po drugim uciekali do pobliskich miasteczek i dużych wsi leżących przy szosie. Trzeba było więc werbować ochotników spośród tych, którzy mieli co najmniej ukończoną szkołę powszechną. Ale w Zarębach takiej młodzieży nie było. Jednym z pierwszych nauczycieli w powojennej szkole(rok 1946) był absolwent I klasy gimnazjum Kazimierz Borzymowski, którego pamięć uczczono w grudniu 2000 roku poprzez umieszczenie w murach tej szkoły tablicy pamiątkowej. W tym czasie pracowały jeszcze dwie nauczycielki p. Szyszko i p. Niemcowa.

Ponieważ władze szkolne zaczęły organizować przyspieszone kursy dla chętnych do zawodu nauczycielskiego – powoli nauczycieli w zarębskiej szkole przybywało. Ale i liczba uczniów rosła z roku na rok. Wreszcie budynek szkolny zaczął pękać w szwach i wynajęto 2 izby w pobliżu szkoły. Praca stawała się coraz trudniejsza – bieganie w przerwy, ze szkoły macierzystej do wynajętych sal lekcyjnych było bardzo męczące.

W początkach lat 60-tych zaczęła się szerzyć radosna wieść o budowie nowej szkoły. Po wielu staraniach ruszyła budowa, zakończona w październiku 1970 roku. Nowa piętrowa szkoła została oddana do użytku i jest siedzibą szkoły do dziś.

Szkoła przechodziła różne koleje. Najpierw była to cztero, później siedmio i wreszcie ośmioklasowa. W początkach lat 70-tych, gdy w Zarębach funkcjonował Urząd Gminy, szkoła była Zbiorczą Szkołą Gminną, z filiami w Mącicach i Łazie. Łącznie uczyło się w szkole około 450 uczniów.

W lutym 1999r. w wyniku reformy oświaty została zlikwidowana ośmioklasowa szkoła podstawowa a w jej miejsce powołano 6-klasową. Wchodziła ona w skład Zespołu Szkół wspólnie z Publicznym Gimnazjum. Od roku szkolnego 2017/2018 w wyniku reformy oświaty została przywrócona ośmioklasowa szkoła podstawowa. 

Szkoła nie posiadała żadnej kroniki, stąd trudno ustalić od którego roku nosi imię Bolesława Chrobrego. Jednak po wnikliwej analizie arkuszy ocen można stwierdzić, że już w 1945 roku szkoła miała swojego patrona, choć nie posiadała sztandaru.